FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar  um polinômio escrito na forma de uma soma algébrica consiste em transformá-lo em um produto de polinômios.

             Casos de fatoração

·         Fator comum em evidência

·         Fatoração por agrupamento

·         Diferença de dois quadrados

·         Trinômio quadrado perfeito

Fator comum em evidência

Observe o polinômio:

    3x² - 6x

Nessa situação, procuramos o maios divisor entre 3 e 6, que é 3, entre as partes literais, vou pegar aquela letra que tem o menor expoente, no caso é o x.

Então, agora é só colocar o fator comum em evidência e dividir cada termo do polinômio        3x² - 6x por 3x.

  3x² - 6x = 3x ( x – 2 ) Forma fatorada.

Vejamos outros  exemplos:

a)    4x³ + 10x² - 12x = 2x ( 2x² + 5x – 6 )

b)    3x³y² - 5x²y³ = x²y² ( 3x²y – 5xy² )

 Fatoração  por  agrupamento

ax + 2a +bx + 2b

 

        

  Observando atentamente a expressão algébrica, percebemos que é possível agrupar os termos de “dois em dois” por exemplo, ax com 2ª e bx com 2b. Em cada grupo existe um fator comum que poderá ser colocado em evidência.

               ax + 2a = a ( x + 2)  Fator comum: a.

               bx + 2b = b ( x + 2 ) Fator comum: a.

                Então , formamos dois grupos:

             (ax + 2a)  +  ( bx + 2b) =

            a ( x + 2)  +  b ( x + 2 ) colocamos o  fator comum de cada grupo em evidência.

 Agora o  ( x + 2 ) é  fator    comum.

Fatoramos  novamente

 ax + 2a  +    bx + 2b =  a ( x + 2)  +  b ( x + 2 ) = ( x + 2) . (  a + b) 

Vejamos outros  exemplos:

      a)    x³ - 5y² + y – 5 =

 y² ( y – 5 ) + 1 ( y – 5 ) =  o fator comum  em evidência o fator comum a cada grupo.

           ( y – 5 ) . ( y² + 1 ) colocamos o fator comum (y - 5) em evidência.

          x³ - 5y² + y – 5 =  ( y – 5 ) . ( y² + 1 ) forma fatorada        

    b) ax + ay + bx + by = forma fatorada        

        a(x + y ) + b ( x + y )= colocamos o fator comum  em evidência o fator comum a cada grupo.

        ( x + y ) . ( a + b )         colocamos o fator comum ( x + y) em evidência.

        ax + ay + bx + by = ( x + y ) . ( a + b ) forma fatorada       

 Diferença de dois quadrados

      Vejamos o exemplo:

        P² - 9

Extraído a raiz quadrada de p² e 9.

              

Então,     p² - 9 = ( p + 3 ) . ( p + 3 )

Vejamos outros  exemplos:

 a)    4 – a²m² = ( 2 – am) . ( 2 + am)

 b)    16x² - 9 = ( 4x – 3 ) . ( 4x + 3 )

Trinômio quadrado perfeito

    Um trinômio é quadrado perfeito se :

·         Dois dos seus termos são quadrados perfeitos;

·         O termo não quadrado perfeito é igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos quadrados perfeitos.

Vamos verificar se 4x² + 12xy + 9y²  é quadrado perfeito.

           4x² + 12xy + 9y² 

     Extraído a raiz quadrada de 4x² que é 2x e a raiz quadrada de 9y² que é 3y.     

Logo, 2. 2x.  3y = 12xy que é o  termo não quadrado perfeito.

Então, 4x² + 12xy + 9y²  = ( 2x + 3y )²  O sinal é o do termo não quadrado perfeito.

  Vejamos outros  exemplos:

a)    x² - 4x + 4 =  ( x – 2 )²

b)    m² + 2mn + n² = ( m + n )²

( atividade no próximo post)