ESTUDANDO PARA A OBMEP

1. Calcule a diferença – Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é essa diferença?
 (a) 997     (b) 777        (c) 507       (d) 531        (e) 729

 Solução – A opção correta é (e).
  Para que a diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de três algarismos pares diferentes e o menor número de três algarismos ímpares diferentes. O maior número de três algarismos pares diferentes é 864 e o menor número de três algarismos ímpares diferentes é 135. A diferença entre eles é
  864 − 135 = 729

2. População – Em 1998, a população do Canadá era de 30,3 milhões. Qual das opções abaixo representa a população do Canadá em 1998?
(a) 30 300 000    (b) 303 000 000      (c) 30 300     (d) 303 300     (e) 30 300 000 000

 Solução: A opção correta é (a). Como 1 milhão = 1 000 000, temos 30,3 milhões = 30,3 × 1 000 000 = 30 300 000.

3.. Réguas em 15 minutos – Uma certa máquina é capaz de produzir oito réguas por minuto. Quantas réguas essa máquina consegue produzir em 15 minutos?
(a) 104       (b) 110         (c) 112      (d) 128        (e) 120

Solução: A opção correta é (e). Se a máquina produz oito réguas em um minuto, em 15 minutos ela produzirá 8×15 = 120 réguas.


4. Alturas iguais – Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que
• Luíza é maior que Antônio;              • Maria é menor que Luíza;
• Antônio é maior do que Júlio;           • Júlio é menor do que Maria.

Quais deles têm a mesma altura?
 (a) Maria e Júlio                            
(b) Júlio e Luíza
 (c) Antônio e Luíza
(e) Antônio e Maria
(d) Antônio e Júlio
 A opção correta é (e). Usaremos a notação a < b, que significa que a é menor do que b ou, equivalentemente, que b é maior do que a. Assim, a < b < c significa que a é menor do que b e b é menor do que c. Para simplificar, vamos denotar a altura de cada um dos irmãos pela letra inicial de seu nome. Do enunciado temos: (i) L é maior do que A (L > A ou, equivalentemente, A < L); (ii) M é menor do que L (M < L); (iii) A é maior do que J ( A > J ou, equivalentemente, J < A); (iv) J é menor do que M (J < M). De (i) e (iii) segue que J < A < L. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Antônio e Luíza. De (ii) e (iv) segue que J < M < L. Portanto, os irmãos de mesma altura não estão entre Júlio, Maria e Luíza. Logo, a única opção é que Antônio e Maria tenham a mesma altura. 

ATIVIDADE COM FUNÇÕES INVERSAS

COMO ENCONTRAR A INVERSA DE UMA FUNÇÃO

                        Função Inversa

A  função inversa tem por finalidade criar funções a partir de outras. Uma função só terá inversa se for bijetiva.
Sejam os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {5, 6, 7, 8, 9} e a função A→B definida por  f(x) =  x + 7, veja o diagrama dessa função abaixo:

f(x) = x + 7

f (-2)= -2 + 7= 5         f (-1)= -1 + 7= 6         f( 0)=  0 + 7  = 7                    

f(1 )=  1 + 7=  8         f(2)=   2 + 7=  9

          

Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}
Essa função é bijetiva, pois cada elemento do conjunto A ( domínio) está em correspondência com um único elemento em B , veja que o conjunto B é o conjunto imagem da função. Então podemos dizer que essa função é bijetiva, logo admite inversa.
A sua função inversa é  indicada por f ^–1(x).

Para encontrar a função inversa f^-1(x) de f(x), basta seguir os seguintes passos:

1º. Troque f(x) por y

2º . Troque x por y   x por x ( onde tiver x, coloque y e onde tiver y coloque x).

3º. Faça as operações indicadas.

Veja os exemplos:

1. Encontre a inversa das funções abaixo:

Atividade próximo post.

DITADO DE TABUADA

        Aprender a tabuada é muito importante, pois ela vai ajudar a resolver  cálculos com mais rapidez. Além de estimular o raciocínio lógico e a capacidade mental da criança e do adolescente. Pensando nisso tenho buscado formas diferentes de estimular o aluno compreender e decorar a tabuada, pois acredito que essas duas ações se completam.

                            DITADOS DE TABUADA

         Tenho obtido ótimos resultados com os ditados de tabuada.

 4 . 5 =                                         3 . 6=

7 . 5 =                                         2 . 4 =

3 . 3 =                                         4 . 8 =

8. 9 =                                          5 . 2=

6 . 6 =                                         4 . 3 =

9 . 6=                                          7 . 8 =

3 . 7 =                                         9 . 9 =

7 . 0 =                                         1. 9 =

5 . 10=                                        6 . 2 =

4 . 6 =                                         8 .  8=

          Desenvolvimento  da atividade

        Trabalho sempre com vinte multiplicações preparadas com antecedência.

     Antes de iniciar o ditado todos devem estar preparados, tendo a mão  caneta e um caderno.

        O aluno não deve fazer o ditado usando lápis, para evitar que ele queira apagar alguma multiplicação e acabe se atrasando.

        Quando falo a primeira multiplicação o aluno deve escrever o produto e responder ao mesmo tempo e assim por diante, até o final.

        Por exemplo: 4 . 5 = 20

        O ditado deve ser feito com regularidade de tempo, não podendo repetir a multiplicação, quem se atrasar já passa para a seguinte.

        Ao término do ditado, todos devem colocar a caneta sobre o caderno, não podendo escrever mais nada.    

      Os alunos trocam os cadernos entre si, em seguida escrevo a tabuada no quadro e respondo com a participação de todos,.

     Então, cada aluno corrige o caderno de seu colega e faz a contagem dos acertos.

     Anoto a quantidade de acerto de cada aluno durante o bimestre, os alunos que conquistarem os maiores números de pontos, receberam como prêmio um caixa de chocolate.

      Com essa atividade tenho colhido bons frutos, eles passam a  estudar sem eu peça  para conseguir o maior número de ponto possível.

       

                    

EXERCÍCIO COM EQUAÇÕES LITERAIS

1.     Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita)

         a)      5x + p = 4p
         b)      3x + a = 7 
         c)       3ax + 4f = 6f
         d)      4x – b = -x + c
        e)      qx = 3q + 2 + x
        f)       4d + 3x = 12d + x
        g)      4x – bx + 3 = 36
        h)      5x – y = 2yx + 7
2.      Resolva as seguintes equações literais (x é a incógnita)
        a)      5( x –m) = 2x + m)
        b)      3( 2q + x) = 9q
        c)       x( p + 4) = 3( x-1)
        d)      3(x -2h) – 9a – 15h = 0
        e)      3( hx – 4) = 2( x –h) – 5
        f)      -z( x –y) –z( x-1) = y – z
        g)      5( 2p + 3x) – 4( 3p + x) = 4p

3.   Marque a alternativa correta:

  a)   A solução  da  equação   10 ( X -  3a) = 5 (x + a )  (x é a incógnita)
  é:

        (   ) 5x            (   ) 4 a            (   ) 5 a          (   ) 3x           (   ) nda