FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar  um polinômio escrito na forma de uma soma algébrica consiste em transformá-lo em um produto de polinômios.

             Casos de fatoração

·         Fator comum em evidência

·         Fatoração por agrupamento

·         Diferença de dois quadrados

·         Trinômio quadrado perfeito

Fator comum em evidência

Observe o polinômio:

    3x² - 6x

Nessa situação, procuramos o maios divisor entre 3 e 6, que é 3, entre as partes literais, vou pegar aquela letra que tem o menor expoente, no caso é o x.

Então, agora é só colocar o fator comum em evidência e dividir cada termo do polinômio        3x² - 6x por 3x.

  3x² - 6x = 3x ( x – 2 ) Forma fatorada.

Vejamos outros  exemplos:

a)    4x³ + 10x² - 12x = 2x ( 2x² + 5x – 6 )

b)    3x³y² - 5x²y³ = x²y² ( 3x²y – 5xy² )

 Fatoração  por  agrupamento

ax + 2a +bx + 2b

 

        

  Observando atentamente a expressão algébrica, percebemos que é possível agrupar os termos de “dois em dois” por exemplo, ax com 2ª e bx com 2b. Em cada grupo existe um fator comum que poderá ser colocado em evidência.

               ax + 2a = a ( x + 2)  Fator comum: a.

               bx + 2b = b ( x + 2 ) Fator comum: a.

                Então , formamos dois grupos:

             (ax + 2a)  +  ( bx + 2b) =

            a ( x + 2)  +  b ( x + 2 ) colocamos o  fator comum de cada grupo em evidência.

 Agora o  ( x + 2 ) é  fator    comum.

Fatoramos  novamente

 ax + 2a  +    bx + 2b =  a ( x + 2)  +  b ( x + 2 ) = ( x + 2) . (  a + b) 

Vejamos outros  exemplos:

      a)    x³ - 5y² + y – 5 =

 y² ( y – 5 ) + 1 ( y – 5 ) =  o fator comum  em evidência o fator comum a cada grupo.

           ( y – 5 ) . ( y² + 1 ) colocamos o fator comum (y - 5) em evidência.

          x³ - 5y² + y – 5 =  ( y – 5 ) . ( y² + 1 ) forma fatorada        

    b) ax + ay + bx + by = forma fatorada        

        a(x + y ) + b ( x + y )= colocamos o fator comum  em evidência o fator comum a cada grupo.

        ( x + y ) . ( a + b )         colocamos o fator comum ( x + y) em evidência.

        ax + ay + bx + by = ( x + y ) . ( a + b ) forma fatorada       

 Diferença de dois quadrados

      Vejamos o exemplo:

        P² - 9

Extraído a raiz quadrada de p² e 9.

              

Então,     p² - 9 = ( p + 3 ) . ( p + 3 )

Vejamos outros  exemplos:

 a)    4 – a²m² = ( 2 – am) . ( 2 + am)

 b)    16x² - 9 = ( 4x – 3 ) . ( 4x + 3 )

Trinômio quadrado perfeito

    Um trinômio é quadrado perfeito se :

·         Dois dos seus termos são quadrados perfeitos;

·         O termo não quadrado perfeito é igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos quadrados perfeitos.

Vamos verificar se 4x² + 12xy + 9y²  é quadrado perfeito.

           4x² + 12xy + 9y² 

     Extraído a raiz quadrada de 4x² que é 2x e a raiz quadrada de 9y² que é 3y.     

Logo, 2. 2x.  3y = 12xy que é o  termo não quadrado perfeito.

Então, 4x² + 12xy + 9y²  = ( 2x + 3y )²  O sinal é o do termo não quadrado perfeito.

  Vejamos outros  exemplos:

a)    x² - 4x + 4 =  ( x – 2 )²

b)    m² + 2mn + n² = ( m + n )²

( atividade no próximo post)

ATIVIDADE COM PRODUTOS NOTÁVEIS

1. Use as regras dos produtos notáveis para  desenvolver:

a) ( a + 3 )²                                         j) ( q³ - 4 ) ( q²                      

b ) ( b + 5n )²                                     l) ( 2m + 3 )²

 c) ( 4p -2 p )²                                  m) ( p² – 4 ) (p² + 4 )

 d) ( 2m + 3 )²                                   n) ( 4 +2 pc )²

e) ( p² - 10 )²                                      o) ( a + 3 ) ( a - 3 )

 f) ( 5m - 3 )²                                     p) ( mn – 6) (mn + 6 )  

  g) ( 6y +2 pc)²                                 q) ( p² – 3 )²   

h) ( 2m + 3 )²                                      r) ( 4m +2,2a )²

i) ( p² – 4q)²                                       s) ( 5k – 3) (k + 3)

2. Desenvolva:

a) ( g + 1 )³                                         i) ( b³ - 4 ) ³                      

b ) (2 b + 5n )³                                    j) ( 3pm - 3 )³

 c) ( pq +2 p )³                                    l) ( 7p² – 4 )³

 d) ( 2mn + 1 )³                                   m) ( a -2 pc )3

e) ( 4p² + 10 )³                                    n) (7 a - 3 )³

 f) ( m + 3 ) ³                                       o) (1,2 p² – 3 )³  

g) ( 4m + 3)³                                        p) ( m² -2a )³

h) ( p²q³ + 4)³                                      q) ( 5x – 3y)³

3. Escreva na sua forma mais simples o polinômio expresso pelas expressões abaixo:

a) ( mn – 1 )² - ( 1 – mn ) ( 1 + mn) + 2mn.

b)  ( 3x + 2 ) . ( 3x – 2 )+ ( x + 2)².

 c) ( 5x + 3 )² -  ( 3x – 4 )+ ( 3x + 4)

d)  ( x + 1 )³ .  3( x – 2 ) . ( x + 2)².

ESTUDANDO PRODUTOS NOTÁVEIS

                      PRODUTOS NOTÁVEIS

São produtos de binômios que aparecem com muita frequência no

cálculo algébrico.

          

       QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Demonstração:

(a + b)² =( a + b ). (a + b) = a . a + a. b + b.a + b . b =  a² + ab +ab + b² = 

=  a² + 2ab + b²

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro termo  pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Vejamos alguns exemplos

a) (2 + 3p)² = p² + 2.2.3p + (3p)² =  p²  + 12p + 9p² .

b) (5m +3t)² = ( 5m )² + 2.5.3t + (3t)² =  25m²  + 30t + 9t² .

              

       QUADRADO DA DIFERENÇA  DE DOIS TERMOS

Demonstração:

(a - b)² = ( a – b ) . (a – b) = a . a – a. b – b.a + b . b =  a² - ab – ab + b² =

 = a² - 2ab + b²

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro termo  pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Vejamos alguns exemplos

a) (7 - rs)² = 7² -  2.7.rs + (rs)² =  49 + 14rs +  r²s ² .

b) (mn - 6t)² = ( mn )² -  2.mn.6t + (6t)² =  m²n²  -  12mnt + 36t² .

       

      PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

 Demonstração:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Vejamos alguns exemplos

a) (7 - q). ( 7 + q ) = 7² -  q ² =  49 - q² .

b) (2d + 4f).  (2d – 4f).  = ( 2d)² -   (4f)² =  4d²  -  16f² .

CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Podemos calcular  usado  a propriedade  distributiva multiplicação.

(a + b)³ = ( a + b) . ( a+b)²= ( a + b) . (  a² + 2ab + b²)  =

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.

Vejamos alguns exemplos

a)  ( 3 + x )³ = 3³ + 3.3².x + 3.3.x² + x³ = 27 + 27x + 9x² + x³

b) ( 2 + a )³ = 2³ + 3.2².a + 3.3.a² + a³ = 8 + 12a + 4a² + a³

        

     CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

    (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Podemos calcular  usado  a propriedade  distributiva multiplicação.

(a - b)³ = ( a - b) . ( a - b)²= ( a - b) . (  a² - 2ab + b²)  =

= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos  três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

Vejamos alguns exemplos

a)  ( 3 -  x )³ = 3³ -  3.3².x + 3.3.x² -  x³ = 27 -  27x + 9x² - x³

b) ( 2 - a )³ = 2³ - 3.2².a + 3.3.a² -  a³ = 8 - 12a + 4a² -  a³