Polinômio é toda expressão algébrica formada por um ou mais termos algébricos.
Alguns polinômios recebem nomes especiais.
Exemplos:
4x, é um polinômio formado por apenas um termo algébrico, por issso é chamado de monômio.
5p +3q, esse polinômio é formado por dois monômios ou dois termos algébricos, por isso ele é chamado de binômio.
7 + 2y - 6z, esse polinômio é firmado por três monômios ou três termos algébricos, por esse motivo é chamado de trinômio.
As expressões algébricas formadas por mais de três monômios ou termos algébricos são chamados simplismente de polinômios.
Exemplos:
a) 2a + 3ab + 5c - 1
b) 8m + m² + 5mn + 7m³ - 10
Grau do polinômio com uma variável
O grau de um polinômio é dado pelo maior expoente da variável.
Vejamos alguns exemplos:
a) 3x³ + 4x - 2x - 7, é um polinômio de 3º grau, pois o maior expoente do x é 3.
b) 6n + 2n²/3 + 8, é um polinômio do 2º grau, pois o maior expoente do n é 2.
Quando o polinômio é formado por mais de uma variável, o grau do polinômio reduzido e não nulo é dado pelo grau do seu monômio de maior grau..
Veja o exemplo abaixo:
3m²n + 5mn - 7m³n³, o o grau do polinômio é dado pela soma dos expoentes das variável do monômio
- 7m³n³ , então temos 3 + 3 = 6, logo o polinômio é do 6º grau.
É possível determinar o grau do polinômio em relação a cada variável, nesse caso o polinômio é do 3º grau em relação a m e do 3º grau em relação a n.
Adição de polinômios
Para adicionar ou subtaírmos polinômios devemos lembrar que os termos devem ser semelhantes, como já foi visto anteriormente com os monômios.
Agora veremos alguns exemplos:
1)Calcule a soma algébrica dos polinômios abaixo:
( 3m + 5m³ - 8m² + 6 ) + ( 9m + 10m³ - 6m² + 4 ), eliminar os parênteses.
3m + 5m³ - 8m² + 6 + 9m + 10m³ - 6m² + 4, juntar os termos semelhantes.
3m + 9m + 5m³ + 10m³ - 8m² - 6m² + 6 + 4, somar algebricamente os monômios semelhantes.
12m + 15m³ -14m² + 10
terça-feira, 19 de janeiro de 2010
MINI-SOROBAM DE CARTOLINA
Este é o post e sendo um blog com temas específicos na área de exatas, é uma vitória alcançar essa marca e para comemorar apresento para os meus leitores, como construir um mini-soroban de cartolina.
O mini-soroban é uma versão didática de ábaco e serve para estimular e desenvolver o raciocínio lógico. Com ele é possível realizar somas e subtrações de números inteiros entre e e posicionando a vírgula adequadamente, podemos também efetuar somas e subtrações de números racionais tais como: , , , etc. Para ver com se faz somas e subtrações click aqui. Além disso, com o auxílio das barras de Napier podemos também fazer produtos. Vejamos então os procedimentos para você construir o mini-soroban:
Material Necessário:
- 1 folha de cartolina cm;
- 1 folha papela e uma borracha;
- 4 palitos de churrasco;
- Missangas coloridas ( pacotes);
- 1 tubo de cola e estilete;
- Tesoura e compasso;
- Uma borracha grande e duas réguas.
1 - Recorte um pedaço de cartolina no tamanho da folha de papel . Baixe o modelo do mini-soroban em doc (click aqui), configura a impressora para papel e imprima no pedaço de folha de cartolina. Em seguida recorte conforme o passo da figura abaixo.
2 - Após recortar as peças, use as duas réguas para dobrá-las nas linhas pontilhadas conforme o passo da figura abaixo.
3 - O próximo passo é furar as três peças laterais nos pontos marcados. Para isso, use o compasso e a borracha como apoio e faça um pequeno furo e com auxílio do palito de churrasco alargue o furo. Veja os passos , e da figura abaixo.
Agora basta usá-lo, mas se achar difícil manuseiá-lo com os dedos, use um palito de churrasco que pode ser amarrado em um barbante e também no mini-soroban.
Qualquer dúvida ou sugestão entre em contato através do mural de recados ou através do e-mail linnux2001@gmail.com.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 10/12/2009
http://fatosmatematicos.blogspot.com/
Obrigada Prof. Paulo Sérgio pela colaboração.
O mini-soroban é uma versão didática de ábaco e serve para estimular e desenvolver o raciocínio lógico. Com ele é possível realizar somas e subtrações de números inteiros entre e e posicionando a vírgula adequadamente, podemos também efetuar somas e subtrações de números racionais tais como: , , , etc. Para ver com se faz somas e subtrações click aqui. Além disso, com o auxílio das barras de Napier podemos também fazer produtos. Vejamos então os procedimentos para você construir o mini-soroban:
Material Necessário:
- 1 folha de cartolina cm;
- 1 folha papela e uma borracha;
- 4 palitos de churrasco;
- Missangas coloridas ( pacotes);
- 1 tubo de cola e estilete;
- Tesoura e compasso;
- Uma borracha grande e duas réguas.
Procedimento:
2 - Após recortar as peças, use as duas réguas para dobrá-las nas linhas pontilhadas conforme o passo da figura abaixo.
3 - O próximo passo é furar as três peças laterais nos pontos marcados. Para isso, use o compasso e a borracha como apoio e faça um pequeno furo e com auxílio do palito de churrasco alargue o furo. Veja os passos , e da figura abaixo.
4 - Essa etapa consiste em colar as partes laterais seguindo a ordem ilustrado nas etapas , e . Para cortar os palitos, faça marcações com o auxílio do estilete girando o palito com muita calma e em seguida basta quebrá-lo.
5 - Coloque as contas nos palitos e cole a última parte conforme os passos , e .Agora basta usá-lo, mas se achar difícil manuseiá-lo com os dedos, use um palito de churrasco que pode ser amarrado em um barbante e também no mini-soroban.
Qualquer dúvida ou sugestão entre em contato através do mural de recados ou através do e-mail linnux2001@gmail.com.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 10/12/2009
http://fatosmatematicos.blogspot.com/
Obrigada Prof. Paulo Sérgio pela colaboração.
quinta-feira, 14 de janeiro de 2010
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E MONÔMIOS
As letras vieram transformar profundamente o estudo da Matemática, pois antes do aparecimento das variáveis, as propriedades dos números eram feitas através de construções geométrica. Álgébra é o estudo das propriedades das expressões que contém letras ou variáveis.
Exemplos de expressões algébricas
a²m , 9,9pq + 2 -2/5m³q - 5 0,035rs - 100
Expressões algébricas são todas aquelas expressões em que aparecem números e letras ,ou somente letras. As letras são chamadas de variáveis.
Valor numérico de uma expressão algébrica
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão algébrica basta substituírmos as variáveis da expressão por um número dado previamente.
Vejamos alguns exemplos:
Vamos determinar o valor numérico das expressões algébricas abaixo:
a) 5mn + 6, se m = 2 e n = -3
solução
5mn + 6 é a expressão algébrica, m vale 2 e n vale - 3
Preimeira coisa a fazer é substituir as letras pelos números dados.
Então: 5mn + 6
5 . 2 .( - 3 ) = 10 . (- 3 ) = - 30
Logo o valor numérico da expressão numérica é - 30.
b) -2a +3b + ab, quando a = -1 e b = 7
Temos:
-2a + 3ab + ab
- 2 . (- 1 ) + 3 . 7 + ( - 1 ) . ( 7 ) = + 2 +21 + ( - 7 ) = 23 - 7 = 16
Logo o valor numérico da expressão numérica é 16.
Monômios
Monômio é toda expressão algébrica formada apena por número,ou apenas por variáveis ou ainda por uma multiplicação de números e variáveis.
Então:
2m²n, 5xy , - a²b³ , - 0,12ax² são exemplos de monômios.
Em um monômio geralmente encontramos duas partes.
* Coeficiente numérico - é o número real.
* Parte literal - é uma variável ou uma multiplicação de variáveis ( incluíndo seus expoentes).
Observe os exemplos de monômios:
*2m²n * 5xy
coeficiente numérico = 2 coeficiente = 5
parte literal = m²n parte literal = xy
* - a²b³ * - 0,12a³x²
coeficiente numérico = - 1 coeficiente numérico = - 0,12
parte literal = a²b³ parte literal = a³x²
Quando no monômio só aparecem variáveis o coeficiente numérico é o número 1. pois 1 é o elemento neutro da multiplicação.
Exemplos:
kf² - coeficiente numérico 1
- pqr - coeficiente numérico - 1.
Grau do monômio
O grau de um monômio não-nulo é a soma dos expoentes das variáveis de um monômio.
Observação:
Monômio não- nulo é aquele que o coeficiente numérico é zero.
como: 0xy, 0mn , 0q³pr²
Vejamos alguns exemplos:
1) Calcular o grau de cada monômio abaixo:
a) 5x²p
Vamos somar os expoentes da parte literal x²p . temos: 3 + 1 = 4. Nesse caso dizemos que o monômio é do 4º grau.
Observe que o expoente do p não aprece, então o expoente é 1.
b) 10a²b³m
Temos: 2 + 3 + 1 = 6. Nesse caso o monômio é do 6º grau.
Monômios semelhantes
Dois ou mais monômios são ditos semelhantes quando suas partes literais são iguais, inclusive os expoentes de cada variável.
Observe os monômios abaixo:
a³b²p, 3b²a³p, - 0,5a³b²p, são semelhantes pois as variáveis dos monômios são iguais, não importa a ordem em que elas aparecem.
6mn³ , -4mn , 10m³n, os momômios dados não semelhantes, observe que os expentes das variáveis são diferentes.
Operações com monômios
Adição e subtração de monômios
Para adicionar ou subtrair dois ou mais monômios, temos que observar se os monômios são semelhantes, isso é fundamental.
Se forem semelhantes você vai somar ou subtrairos coeficientes numéricos e conservar a parte literal, lembre-se de que você deve respeitar as regras fundamentais dos números inteiros (sinais iguais soma e conserva o sinal, sinais diferentes subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto).
Vejamos alguns exemplos:
1) Determine a soma algébrica dos monômios -3ab + 5ab - 7ab.
Primeiro vamos relembrarmos que na adição algébrica, somamos se os sinais são iguais e subtraímos se os sinais forem diferentes.
Voltando ao exemplo dado:
Resolvendo:
-3ab + 5ab - 7ab=
+ 2ab - 7ab = - 5ab
2) Calcule a soma algébrica dos monômios xk - 8xk + 18xk - 5xk.
Resolvendo:
xk - 8xk + 18xk - 5xk=
- 7xk + 18xk - 5xk=
+11xk - 5 xk=
+6xk
3) Encontre a soma dos polinômios (+ 2rs ) - ( + 6rs² ) + ( -10rs ) - ( - 12rs² ).
Resolvendo:
(+ 2rs ) - ( + 6rs² ) + ( -10rs ) - ( - 12rs² ), primeiro temos que eliminar os parênteses, multipicando os sinais, como você aprendeu na 6ª série.
+ 2rs - 6rs² - 10rs + 12rs², vamos juntar os termos semelhantes.
+2rs - 10rs - 6rs² + 12rs², somamos algebricamente os termos semelhantes.
- 8rs + 4rs²
- 4rs²
4) Qual é o perímetro de um retângulo que possui 6xy de largura e 12,5xy de comprimento?
Resolvendo:
6xy + 12,5xy + 6xy + 12,5xy= Então o perímetro do retângulo é 37xy.
18,5xy+ 18,5xy=
37xy
Multiplicação de monômios
Revisão das propriedades da potenciação:
Multiplicação de potência de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes.
Exemplos: 8.8² = 8³ 5 . 5 = 5²
Divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtai-se os espoentes.
Exemplos: 8³ : 8 = 8² 5² : 5 = 5
Na multiplicação de monômios, multiplicamos os coeficientes numéricos e somamos o expoentes variáveis semelhante.
Vejamos alguns exemplos:
1) Vamos multiplicar o monômios abaaixo:
a) ( - 3ab) . ( + 6ab) , lembre-se de que na multiplicação temos que multiplicar os sinais também. onde:
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -
Voltando ao exemplo:
a) ( - 3ab) . ( + 6ab) = - 18a²b²
b) ( + 5xv ) . ( + 3xv² ) = + 15x²v³
c) - 8m²n . ( - 4m ) = + 32m³n
d) (-2/5ax² ) . ( + 3 / 7ax) = - 6 / 35a² x³
2) Calcule a área de um retângulo que possui 2xy de largura e 5xy de comprimento?
A= 2xy . 5xy
A = 10x²y²
A área do retângulo e 10x²y².
Divisão de monômios
Na divisão de monômios, dividimos o coeficientes e subtraímos os expoentes das variáveis semelhantes.
Exemplos:
1) Efetue as divisões abaixo.Não esqueça das regras dos sinais já estudada anteriormente na multiplicação de monômios.
a) 8ab³ : 2ab = 4b²
Veja que o a sumiu, pois a¹: a¹ = a° = 1, sabemos que todo número elevado a zero é igual a 1.
b) ( - 20m³ n³ ) : ( + 5mn²) = - 4 m²n
Potenciação de monômios
De modo prático, podemos calcular aplicando as propriedades das potências.
Uma das propriedade é a potência de potência, ela diz que devemos conservar a base e multipicar os expoentes.
Vejamos os exemplos:
1) Calcule:
a) ( - 2 b )² = 4b² , multipliquei o expoente do coeficiente numérico que é 1 pelo expoente do monômio e depois multipliquei o expoente do b que 1 por 2 que o expoente do monômio, logo ficou assim: 2² b² = 4b².
2) Calcule o cubo de - 5ab.
Então: ( - 5 ab )³ = - 125a³b³
Exemplos de expressões algébricas
a²m , 9,9pq + 2 -2/5m³q - 5 0,035rs - 100
Expressões algébricas são todas aquelas expressões em que aparecem números e letras ,ou somente letras. As letras são chamadas de variáveis.
Valor numérico de uma expressão algébrica
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão algébrica basta substituírmos as variáveis da expressão por um número dado previamente.
Vejamos alguns exemplos:
Vamos determinar o valor numérico das expressões algébricas abaixo:
a) 5mn + 6, se m = 2 e n = -3
solução
5mn + 6 é a expressão algébrica, m vale 2 e n vale - 3
Preimeira coisa a fazer é substituir as letras pelos números dados.
Então: 5mn + 6
5 . 2 .( - 3 ) = 10 . (- 3 ) = - 30
Logo o valor numérico da expressão numérica é - 30.
b) -2a +3b + ab, quando a = -1 e b = 7
Temos:
-2a + 3ab + ab
- 2 . (- 1 ) + 3 . 7 + ( - 1 ) . ( 7 ) = + 2 +21 + ( - 7 ) = 23 - 7 = 16
Logo o valor numérico da expressão numérica é 16.
Monômios
Monômio é toda expressão algébrica formada apena por número,ou apenas por variáveis ou ainda por uma multiplicação de números e variáveis.
Então:
2m²n, 5xy , - a²b³ , - 0,12ax² são exemplos de monômios.
Em um monômio geralmente encontramos duas partes.
* Coeficiente numérico - é o número real.
* Parte literal - é uma variável ou uma multiplicação de variáveis ( incluíndo seus expoentes).
Observe os exemplos de monômios:
*2m²n * 5xy
coeficiente numérico = 2 coeficiente = 5
parte literal = m²n parte literal = xy
* - a²b³ * - 0,12a³x²
coeficiente numérico = - 1 coeficiente numérico = - 0,12
parte literal = a²b³ parte literal = a³x²
Quando no monômio só aparecem variáveis o coeficiente numérico é o número 1. pois 1 é o elemento neutro da multiplicação.
Exemplos:
kf² - coeficiente numérico 1
- pqr - coeficiente numérico - 1.
Grau do monômio
O grau de um monômio não-nulo é a soma dos expoentes das variáveis de um monômio.
Observação:
Monômio não- nulo é aquele que o coeficiente numérico é zero.
como: 0xy, 0mn , 0q³pr²
Vejamos alguns exemplos:
1) Calcular o grau de cada monômio abaixo:
a) 5x²p
Vamos somar os expoentes da parte literal x²p . temos: 3 + 1 = 4. Nesse caso dizemos que o monômio é do 4º grau.
Observe que o expoente do p não aprece, então o expoente é 1.
b) 10a²b³m
Temos: 2 + 3 + 1 = 6. Nesse caso o monômio é do 6º grau.
Monômios semelhantes
Dois ou mais monômios são ditos semelhantes quando suas partes literais são iguais, inclusive os expoentes de cada variável.
Observe os monômios abaixo:
a³b²p, 3b²a³p, - 0,5a³b²p, são semelhantes pois as variáveis dos monômios são iguais, não importa a ordem em que elas aparecem.
6mn³ , -4mn , 10m³n, os momômios dados não semelhantes, observe que os expentes das variáveis são diferentes.
Operações com monômios
Adição e subtração de monômios
Para adicionar ou subtrair dois ou mais monômios, temos que observar se os monômios são semelhantes, isso é fundamental.
Se forem semelhantes você vai somar ou subtrairos coeficientes numéricos e conservar a parte literal, lembre-se de que você deve respeitar as regras fundamentais dos números inteiros (sinais iguais soma e conserva o sinal, sinais diferentes subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto).
Vejamos alguns exemplos:
1) Determine a soma algébrica dos monômios -3ab + 5ab - 7ab.
Primeiro vamos relembrarmos que na adição algébrica, somamos se os sinais são iguais e subtraímos se os sinais forem diferentes.
Voltando ao exemplo dado:
Resolvendo:
-3ab + 5ab - 7ab=
+ 2ab - 7ab = - 5ab
2) Calcule a soma algébrica dos monômios xk - 8xk + 18xk - 5xk.
Resolvendo:
xk - 8xk + 18xk - 5xk=
- 7xk + 18xk - 5xk=
+11xk - 5 xk=
+6xk
3) Encontre a soma dos polinômios (+ 2rs ) - ( + 6rs² ) + ( -10rs ) - ( - 12rs² ).
Resolvendo:
(+ 2rs ) - ( + 6rs² ) + ( -10rs ) - ( - 12rs² ), primeiro temos que eliminar os parênteses, multipicando os sinais, como você aprendeu na 6ª série.
+ 2rs - 6rs² - 10rs + 12rs², vamos juntar os termos semelhantes.
+2rs - 10rs - 6rs² + 12rs², somamos algebricamente os termos semelhantes.
- 8rs + 4rs²
- 4rs²
4) Qual é o perímetro de um retângulo que possui 6xy de largura e 12,5xy de comprimento?
Resolvendo:
6xy + 12,5xy + 6xy + 12,5xy= Então o perímetro do retângulo é 37xy.
18,5xy+ 18,5xy=
37xy
Multiplicação de monômios
Revisão das propriedades da potenciação:
Multiplicação de potência de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes.
Exemplos: 8.8² = 8³ 5 . 5 = 5²
Divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtai-se os espoentes.
Exemplos: 8³ : 8 = 8² 5² : 5 = 5
Na multiplicação de monômios, multiplicamos os coeficientes numéricos e somamos o expoentes variáveis semelhante.
Vejamos alguns exemplos:
1) Vamos multiplicar o monômios abaaixo:
a) ( - 3ab) . ( + 6ab) , lembre-se de que na multiplicação temos que multiplicar os sinais também. onde:
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -
Voltando ao exemplo:
a) ( - 3ab) . ( + 6ab) = - 18a²b²
b) ( + 5xv ) . ( + 3xv² ) = + 15x²v³
c) - 8m²n . ( - 4m ) = + 32m³n
d) (-2/5ax² ) . ( + 3 / 7ax) = - 6 / 35a² x³
2) Calcule a área de um retângulo que possui 2xy de largura e 5xy de comprimento?
A= 2xy . 5xy
A = 10x²y²
A área do retângulo e 10x²y².
Divisão de monômios
Na divisão de monômios, dividimos o coeficientes e subtraímos os expoentes das variáveis semelhantes.
Exemplos:
1) Efetue as divisões abaixo.Não esqueça das regras dos sinais já estudada anteriormente na multiplicação de monômios.
a) 8ab³ : 2ab = 4b²
Veja que o a sumiu, pois a¹: a¹ = a° = 1, sabemos que todo número elevado a zero é igual a 1.
b) ( - 20m³ n³ ) : ( + 5mn²) = - 4 m²n
Potenciação de monômios
De modo prático, podemos calcular aplicando as propriedades das potências.
Uma das propriedade é a potência de potência, ela diz que devemos conservar a base e multipicar os expoentes.
Vejamos os exemplos:
1) Calcule:
a) ( - 2 b )² = 4b² , multipliquei o expoente do coeficiente numérico que é 1 pelo expoente do monômio e depois multipliquei o expoente do b que 1 por 2 que o expoente do monômio, logo ficou assim: 2² b² = 4b².
2) Calcule o cubo de - 5ab.
Então: ( - 5 ab )³ = - 125a³b³
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